Outils mathématiques - 4PMGMAT9

Objectif(s)

Pour un ingénieur comme pour un chercheur, les mathématiques forment une boite à outils indispensable à la modélisation et à la résolution de nombreux problèmes en physique, dont les applications sont aujourd’hui considérablement amplifiées par la démocratisation des langages de programmation et des moyens informatiques.
Ce cours a pour objectif de présenter aux étudiants de GEN 2A deux outils mathématiques importants : (i) les bases orthonormées de fonctions, qui font par ailleurs appel à des fonctions spéciales devenues usuelles en physique ; (ii) et les fonctions de Green, qui constituent un moyen puissant pour résoudre une équation différentielle à plusieurs dimensions avec conditions aux limites. Ces fonctions utilisent les bases orthonormées présentées en (i).
Le cours nécessite de bonnes bases en mathématiques, ainsi qu’une pratique routinière du calcul formel : intégrales et sommes multiples, calcul différentiel, analyse complexe et transformées intégrales y sont fréquemment utilisés. Ces prérequis expliquent pourquoi ces outils, malgré leur utilité et leur universalité, sont présentés aussi tardivement dans le cursus scolaire. Chaque étape du cours sera ponctuée d’un TD, au cours duquel quelques exemples d’applications à la résolution de problèmes concrets seront présentés.
Un cours de remise à niveau sera assuré en première partie.

Contenu(s)

1) Première partie : cours de remise à niveau (10h TD, contrôle continu, assuré par G. Thiamova)

2) Deuxième partie : bases orthonormées de fonctions (6h CM + 2h TD, examen final, S. Chabod):

• intérêt en physique
• fonctions propres et valeurs propres du laplacien sur : (i) le cube ; (ii) le cylindre : fonctions de Bessel, série de Fourier-Bessel ; (iii) la sphère : polynômes de Legendre, série de Fourier-Legendre, harmoniques sphériques.
• exemple d’application à l’électromagnétisme : calcul du potentiel électrique.

3) Troisième partie : fonctions de Green (6h CM + 2h TD, examen final, S. Chabod)

• application à la résolution d’équations différentielles avec conditions aux limites
• représentation spectrale des fonctions de Green
• cas particulier de l’opérateur laplacien
• exemple d’application à la mécanique quantique : diffusion d’une particule dans un potentiel répulsif.