UE Tronc commun Mathématiques - 3PUKMAT1

Objectif(s)

Ce module vise à introduire des outils et des méthodes relatives à la démarche scientifique. On y traite des modèles, de la mesure, des espaces de représentation et nous introduisons comment réfuter des modèles (ou par défaut, s'abstenir d'un tel refus). Finalement, l'ensemble se compile sous la forme d'un rapport de ses résultats expérimentaux.

On suit de près ce qu'à écrit George Box (1976) et ce qui a été très bien résumé sur https://blogs.sas.com/content/iml/2025/04/02/all-models-are-wrong.html (en anglais, ci-dessous une traduction). L'analyse de l'auteur se base sur "Science and Statistics" (Box, 1976, JASA, Vol 71, pp. 791-799).

Box discute de la méthode scientifique comme étant un processus itératif : la pratique rencontre la théorie et la théorie la pratique. Les avancées scientifiques nécessitent de produire des modèle parcimonieux mais efficace qui seront comparés aux données pour en exposer leurs imperfections.

Comme tous les modèles sont faux, la ou le scientifique (l'ingénieur ou l'ingénieure) ne peut obtenir un modèle correct mais doit chercher une description économique (parcimonieuse) du phénomène naturel. Avant tout le scientifique (l'ingénieur ou l'ingénieure) devrait pouvoir écarter les modèles totalement inadéquats.

Paraphrasant M. Box : dans l'application des mathématiques à la physique ou aux statistiques, nous tentons de faire des hypothèses concernant le monde qui nous entoure. Nous savons qu'elles sont fausses, mais on peut défendre que certaines sont bien plus utiles que d'autres.

L'exemple statistique qu'il donne concerne le choix de la distribution normale et la régression linéaire : la statisticienne ou le statisticien sait pertinemment que la nature ne contient ni de loi normale, ni de linéarités, mais en utilisant ces hypothèses (de normalité et de linéarité) que l'on sait être fausses, elle ou il peut souvent obtenir des résultats qui concordent -- à une approximation suffisamment maitrisée -- avec les phénomènes naturels.

Contenu(s)

Le cours contient deux volets, un volet théorique (sous forme de cours et TDs) et un volet pratique (sous forme de TP).

Le volet théorique : Représentation des fonctions

• les polynômes orthogonaux : produits scalaires, résolution d'équations différentielles linéaires ordinaires
• les séries de Fourier : intégration d'une fonction complexe sur une partie de IR, propriétés, résolution d'équation différentielles linéaires ordinaires avec conditions de périodicité
• la transformée de Fourier : intégration d'une fonction complexe sur IR, propriétés, résolution d'équation différentielles linéaires ordinaires sur IR, introduction aux distribution ou fonctions généralisées
• la transformée de Laplace unilatérale : intégration d'une fonction complexe sur IR+, propriétés, résolution d'équations différentielles linéaires ordinaires avec conditions initiales
• la transformée de Laplace inverse (intégrale de Mellin-Fourier) : intégration d'une fonction complexe sur une partie de l'ensemble des complexes, théorie de l'intégration complexe, théorème des résidus

Le volet pratique : techniques expérimentales et mesures

• modèles bipôles et quadripôles (invariants dans le temps)
• modèle linéaire, invariant dans le temps : représentation fréquentielle (diagramme de Bode ou transformée/séries de Fourier/transformée de Laplace)
• un modèle pour la mesure : maîtriser les imperfections
• quand la linéarité fait défaut : développement limité au premier ordre (modèle petit signaux)
• modeler avec des nombres complexes : la représentation de Fresnel

Cours d'analyse de niveau BAC+2 (limites et continuité, séries, intégration, dérivation, développements limités)