TC Mathématiques 2. - 3PMKMAT2

Objectif(s)

L'objectif de ce cours est triple :

• 1. savoir modéliser à l'aide des probabilités et
  2. faire des inférences statistiques (estimer des paramètres inconnus) qui trouvera le meilleur modèle pour les observations
  3. pour finalement aboutir à un test d'hypothèse qui permettra de vérifier l'adéquation entre ce modèle et les données.

On peut citer le marquis Pierre-Simon Laplace (Essai philosophique sur les probabilités) : « Tous les évènements, ceux-mêmes qui par leur petitesse, semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature, en sont une suite aussi logique que les révolutions du soleil. Dans l'ignorance des liens qui les unissent au système entier de l'univers, on les a fait dépendre des causes finales, ou du hasard, suivant qu'ils arrivaient ou se succédaient avec régularité, ou sans ordre apparent ; mais ses causes imaginaires ont été successivement reculées avec les bornes de nos connaissances, et disparaissent entièrement devant la sainte philosophie, qui voit en elles, que l'expression de l'ignorance où nous sommes de véritables causes.»

Contenu(s)

• 1. Probabilités
  • rappel des axiomes de probabilités (Kolmogorov) : application au dénombrement et aux probabilités totales (théorème de Bayes ou probabilités inversées de Laplace)
  • les variables aléatoires réelles scalaires et vectorielles : définition et caractérisation
  • espérance mathématique et moments de variables aléatoires (+ fonction caractéristique)
  • changement de variables et le théorème de transfert
  • inégalités de concentration (Tchebychev, Kolmogorov) et lois des grands nombres (lois faible et forte, théorème limite central)
  1. Statistiques
  • vocabulaire et terminologie
  • statistiques descriptives
    • moments empiriques
    • théorème dit de Fisher (théorème de Fisher, loi de Helmert et théorème de Gosset)
  • estimation
    • méthode des moments (Pearson)
    • estimateur de maximum de vraisemblance (Fisher) et ses propriétés
    • l'éternelle balance entre biais et variance : l'inégalité de Cramér-Rao
  • test d'hypothèse
    • test d'adéquation (Khi2) et degrés de liberté
    • test de comparaison (Kolmogorov-Smirnov)

• bases d'analyse : limites, continuité, dérivation, intégration
• UE mathématiques S5 (3PUKMATH)
• probabilité : axiomes de Kolmogorov, dénombrement, probabilités totales (théorème de Bayes ou probabilités inverses de Laplace), probabilités discrètes (caractérisation avec les masses de probabilités, fonction de répartition, espérances, quelques lois usuelles : loi de Bernoulli, loi binomiale, loi géométrique, loi de Poisson)