Transformées Intégrales - 3PMCTIN9

Objectif(s)

Présentation des notions mathématiques fondamentales pour calculer et exploiter la Transformée de Fourier et la Transformée de Laplace. La première partie du cours porte sur les fonctions analytiques de la variable complexe, et l'intégrale de ces fonctions sur un chemin dans le plan complexe. La seconde partie présente le Développement en Séries de Fourier des fonctions périodiques et la Transformée de Fourier pour les fonctions absolument sommables. Dans la troisième partie la Transformée de Laplace des fonctions causales est abordée. L'exploitation de ces Transformées dans la résolution d'équations différentielles est aussi abordée.

Contenu(s)

I. Fonctions analytiques de la variable complexe
Dérivabilité ; Conditions de Cauchy-Riemann ; Fonctions holomorphes ; Points singuliers ; Intégrale le long d’un chemin dans le plan complexe ; Lemmes de Jordan ; Théorème de Cauchy ; Théorème des résidus.
II. Transformée de Fourier
Développement en Séries de Fourier des fonctions périodiques ; Condition de Dirichlet ; Transformée de Fourier des fonctions absolument sommables ; Transformée de Fourier Inverse ; Propriétés de la Transformée de Fourier ; Convolution
III. Transformée de Laplace des fonctions causales
Fonctions causales ; Transformée de Laplace des fonctions causales ; Propriétés de la Transformée de Laplace ; Transformée de Laplace Inverse ; Résolution d’équations différentielles.

Variables complexes ; calcul intégral ; série entières - Niveau L2